Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{3^{n}}{n!}(x-4)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e o raio de convergência da série de potência centrada em x=4:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{3^{n}}{n!}\,(x-4)^{n}.
Vamos usar o teste da razão para séries de potência.

Passo 2

Identificamos o termo geral como
a_n(x-4)^n,\quad\text{onde}\quad a_n = (-1)^n\frac{3^n}{n!}.
No teste da razão, consideramos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(x-4)^{n+1}}{a_n(x-4)^n}\right|.

Passo 3

Calculando a razão:
L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}\,\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\,(x-4)^{n+1}} {(-1)^n\,\frac{3^n}{n!}\,(x-4)^n} \right| = \lim_{n\to\infty}\frac{3\,|x-4|}{n+1} = 0.
Como L=0<1 para todo x, a série converge para qualquer valor de x.

Passo 4

Do teste da razão, o raio de convergência R é dado por 1/R=\lim L/|x-4|. Aqui \lim L/|x-4|=0, logo
R = \infty.

Passo 5

Como o raio é infinito, o intervalo de convergência é toda a reta real:
(-\infty,\infty).

Resposta

O raio de convergência é R = \infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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