Determine o intervalo de convergência e o raio de cada série de potência abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n \sqrt{n}} x^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potência
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4\,n\,\sqrt{n}}\,x^{n}
Queremos encontrar o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Para isso vamos usar o teste da raiz (ou teste da razão) para determinar R e depois analisar os casos x=1 e x=-1.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, calculamos
\limsup_{n\to\infty}\bigl|a_n x^n\bigr|^{1/n} \quad\text{onde}\quad a_n = \frac{1}{4\,n^{3/2}}.
Temos
\bigl|a_n x^n\bigr|^{1/n} = |a_n|^{1/n}\,\bigl|x\bigr| = \frac{1}{4^{1/n}\,n^{3/(2n)}}\,|x|.
Como
\lim_{n\to\infty}4^{1/n}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}n^{3/(2n)}=1,
segue
\limsup_{n\to\infty}\bigl|a_n x^n\bigr|^{1/n} = |x|.
O teste da raiz diz que a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Portanto
R = 1.

Passo 3

Agora analisamos o ponto x=1. A série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4\,n\,\sqrt{n}} =\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}.
Como isso é uma série p-série com p=\tfrac32>1, ela converge. Logo, x=1 está no intervalo de convergência.

Passo 4

Para x=-1 a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{4\,n\,\sqrt{n}} =\frac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{3/2}}.
De novo, a série de termos absolutos \sum1/n^{3/2} converge, então converge absolutamente em x=-1. Logo, x=-1 também pertence ao intervalo de convergência.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1].

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