Questão: Mostre que a integral de linha \int_{c}(2 x \ln y-y z) d x+\left(\frac{x^{2}}{y}-x z\right) d y-(x y) d z pende do caminho, em seguida, calcule a integral de (1,2,1) a (2,1,1)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf F(x,y,z)=\bigl(P,Q,R\bigr) =(2x\ln y - yz,\;\tfrac{x^2}{y}-xz,\;-xy)
e pede (i) mostrar que a integral de linha \displaystyle\int_{c}P\,dx+Q\,dy+R\,dz
“pende do caminho” e (ii) calcular essa integral de (1,2,1) a (2,1,1).
O conteúdo é campos vetoriais, verificação de conservação via rotacional e, se for o caso, uso de potencial escalar para computar a integral.

Passo 2

Vamos verificar se \mathbf F é conservativo calculando o rotacional \nabla\times\mathbf F.
  1. \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\ln y -y z\bigr) =2x\cdot\frac1y -z.
  2. \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x^2}{y}-xz\Bigr) =2x\cdot\frac1y -z.
    Logo \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x.
  3. \displaystyle\frac{\partial P}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}(-yz)=-y, \displaystyle\frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(-xy)=-y.
  4. \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}(-xz)=-x, \displaystyle\frac{\partial R}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(-xy)=-x.
Todas as componentes do rotacional são nulas, isto é,
\nabla\times\mathbf F=\mathbf0.
Como o domínio natural de \mathbf F é \{y>0\}, que é simplesmente conexo, concluímos que \mathbf F é conservativo. Logo a integral é, na verdade, independente do caminho.

Passo 3

Buscamos um potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf F.
Da condição \partial\varphi/\partial x=P temos
\varphi(x,y,z) =\int\bigl(2x\ln y -yz\bigr)\,dx =x^2\ln y -xyz +h(y,z).
Para determinar h(y,z), usamos \partial\varphi/\partial y=Q, isto é,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2\ln y -xyz +h(y,z)\bigr) =\frac{x^2}{y}-xz +\frac{\partial h}{\partial y} \overset!=\frac{x^2}{y}-xz.
Daí \partial h/\partial y=0, então h=h(z).
Finalmente, de \partial\varphi/\partial z=R
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^2\ln y -xyz +h(z)\bigr) =-xy +h'(z)\overset!=-xy \;\Longrightarrow\;h'(z)=0.
Logo h é constante e podemos tomar
\varphi(x,y,z)=x^2\ln y \;-\;x y z.

Passo 4

Como a integral é independente do caminho, basta calcular \varphi(2,1,1)-\varphi(1,2,1):
\varphi(2,1,1) =2^2\ln(1)-2\cdot1\cdot1 =0-2=-2,
\varphi(1,2,1) =1^2\ln(2)-1\cdot2\cdot1 =\ln2-2.
Então
\int_{(1,2,1)}^{(2,1,1)}P\,dx+Q\,dy+R\,dz =\varphi(2,1,1)-\varphi(1,2,1) =-2-\bigl(\ln2-2\bigr) =-\ln2.

Resposta

-\ln 2

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