Questão: Mostre que a integral de linha
pende do caminho, em seguida, calcule a integral de
a
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede (i) mostrar que a integral de linha
“pende do caminho” e (ii) calcular essa integral de a
.
O conteúdo é campos vetoriais, verificação de conservação via rotacional e, se for o caso, uso de potencial escalar para computar a integral.
“pende do caminho” e (ii) calcular essa integral de
O conteúdo é campos vetoriais, verificação de conservação via rotacional e, se for o caso, uso de potencial escalar para computar a integral.
Passo 2
Vamos verificar se
é conservativo calculando o rotacional
.
-
. -
.
Logo. -
, . -
, .
Todas as componentes do rotacional são nulas, isto é,
Como o domínio natural de
é
, que é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo. Logo a integral é, na verdade, independente do caminho.
Passo 3
Buscamos um potencial
tal que
.
Da condição temos
Da condição
Para determinar
, usamos
, isto é,
Daí
, então
.
Finalmente, de
Finalmente, de
Logo
é constante e podemos tomar
Passo 4
Como a integral é independente do caminho, basta calcular
:
Então