Esboce a curva
r=2 cos (2 theta+pi / 2)
e encontre a área dentro da curva no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva definida por r = 2 cos(2theta + pi2) e também calcular a área que está dentro dessa curva no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são úteis para desenhar curvas que têm simetria circular ou radial. Vamos precisar entender como transformar essa equação em um gráfico e depois calcular a área usando integrais em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da curva. A equação dada é:
r = 2 cos(2theta + pi2)
Podemos usar a identidade trigonométrica cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b para simplificar:
r = 2 [ cos(2theta)cos(pi2) - sin(2theta)sin(pi2) ]
Sabemos que cos(pi2) = 0 e sin(pi2) = 1, então:
r = 2 [ 0 - sin(2theta) times 1 ] = -2 sin(2theta)
Mas como r representa uma distância, podemos remover o sinal negativo ajustando o ângulo:
r = 2 sin(2theta)

Passo 3

Agora, vamos identificar que tipo de curva temos. A equação r = 2 sin(2theta) é a equação de uma rosquinha ou rosa com 4 pétalas, porque o coeficiente de theta dentro da função seno é 2, que é par. Isso significa que a curva terá 2 times 2 = 4 pétalas igualmente espaçadas.

Passo 4

Para esboçar a curva, vamos calcular alguns pontos-chave. Vamos variar theta de 0 a 2pi e calcular r para alguns valores de theta:
  • Para theta = 0:
r = 2 sin(0) = 0
  • Para theta = pi4:
r = 2 sin(pi2) = 2 times 1 = 2
  • Para theta = pi2:
r = 2 sin(pi) = 0
  • Para theta = 3pi4:
r = 2 sin(3pi2) = 2 times (-1) = -2 (equiva<= a r = 2 e theta = 3pi4 + pi = 7pi4)
E assim por diante. Traçando esses pontos, veremos a formação das 4 pétalas.

Passo 5

Agora, vamos calcular a área dentro da curva no primeiro quadrante. O primeiro quadrante corresponde a theta de 0 a pi2.
A fórmula para a área A em coordenadas polares é:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
Aqui, r = 2 sin(2theta), então:
A = 12 integral0^pi2 [2 sin(2theta)]^2 , dtheta = 12 integral0^pi2 4 sin^2(2theta) , dtheta = 2 integral0^pi2 sin^2(2theta) , dtheta

Passo 6

Vamos simplificar a integral usando a identidade sin^2 x = 1 - cos(2x)2:
A = 2 integral0^pi2 1 - cos(4theta)2 , dtheta = integral0^pi2 (1 - cos(4theta)) , dtheta
Agora, vamos integrar termo a termo:
A = [ theta - sin(4theta)4 ]0^pi2 = ( pi2 - sin(2pi)4 ) - ( 0 - sin(0)4 ) = pi2 - 0 - 0 + 0 = pi2

Resposta

A área dentro da curva no primeiro quadrante é pi2 unidades de área.

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