Esboce a curva
e encontre a área dentro da curva no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a curva definida por
e também calcular a área que está dentro dessa curva no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são úteis para desenhar curvas que têm simetria circular ou radial. Vamos precisar entender como transformar essa equação em um gráfico e depois calcular a área usando integrais em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da curva. A equação dada é:
Podemos usar a identidade trigonométrica
para simplificar:
Sabemos que
e
, então:
Mas como
representa uma distância, podemos remover o sinal negativo ajustando o ângulo:
Passo 3
Agora, vamos identificar que tipo de curva temos. A equação
é a equação de uma rosquinha ou rosa com 4 pétalas, porque o coeficiente de
dentro da função seno é 2, que é par. Isso significa que a curva terá
pétalas igualmente espaçadas.
Passo 4
Para esboçar a curva, vamos calcular alguns pontos-chave. Vamos variar
de 0 a
e calcular
para alguns valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante. Traçando esses pontos, veremos a formação das 4 pétalas.
Passo 5
Agora, vamos calcular a área dentro da curva no primeiro quadrante. O primeiro quadrante corresponde a
de 0 a
.
A fórmula para a área
em coordenadas polares é:
Aqui,
, então:
Passo 6
Vamos simplificar a integral usando a identidade
:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Resposta
A área dentro da curva no primeiro quadrante é
unidades de área.