Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de F.
\left\{1, x, x^{2},(x+1)^{2}\right\}.

Passo 1

Temos o espaço F de todas as funções reais de variável real, com soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto. O subconjunto em questão é
\{\,1,\;x,\;x^2,\;(x+1)^2\}.
Queremos verificar se ele é linearmente independente (usando, por exemplo, o critério do wronskiano, já que as funções são analíticas) e, em seguida, calcular a dimensão do subespaço que ele gera.

Passo 2

Observe que
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1.
Isso mostra a relação linear
(x+1)^2 \;-\; x^2 \;-\; 2x \;-\; 1 \;=\; 0,
ou seja, uma combinação não trivial das quatro funções que dá a função zero. Logo o conjunto é linearmente dependente. Em particular, se calcularmos o wronskiano das quatro funções, veremos que a última linha de derivadas de ordem três é nula, fazendo o determinante identicamente zero.

Passo 3

Como (x+1)^2 está no span \{1,\;x,\;x^2\}, o subespaço gerado por \{1,x,x^2,(x+1)^2\} coincide com o espaço dos polinômios de grau <=2, que tem dimensão 3 sobre \mathbb{R}.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente e o subespaço que ele gera tem dimensão 3.

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