Seja
o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como
e a multiplicação por escalar como
. Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de
é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de
.
.
Passo 1
Temos o espaço
de todas as funções reais de variável real, com soma e multiplicação por escalar definidas ponto a ponto. O subconjunto em questão é
Queremos verificar se ele é linearmente independente (usando, por exemplo, o critério do wronskiano, já que as funções são analíticas) e, em seguida, calcular a dimensão do subespaço que ele gera.
Passo 2
Observe que
Isso mostra a relação linear
ou seja, uma combinação não trivial das quatro funções que dá a função zero. Logo o conjunto é linearmente dependente. Em particular, se calcularmos o wronskiano das quatro funções, veremos que a última linha de derivadas de ordem três é nula, fazendo o determinante identicamente zero.
Passo 3
Como
está no span
, o subespaço gerado por
coincide com o espaço dos polinômios de grau
, que tem dimensão 3 sobre
.
Resposta
O conjunto é linearmente dependente e o subespaço que ele gera tem dimensão 3.