Seja
o conjunto das funções contínuas no intervalo
, com produto interno definido por
Mostre que a sequência
com
para
, forma um conjunto ortonormal. Dica: Utiliza as fórmulas de Prostaférese.
Passo 1
O enunciado define o espaço
com o produto interno
e nos dá a família
para
. Precisamos mostrar que
ou seja, o conjunto é ortonormal. Vamos usar as fórmulas de prostaférese:
Passo 2
Calcular
.
Passo 3
Mostrar
para
.
Para :
Para
Como
é par e seu período completa meio ciclo simétrico,
Mesma argumentação vale para
usando que
é ímpar, logo seu integral sobre
é zero.
Passo 4
Calcular
.
Pelo prostaférese,
Aqui
,
. Então
Se
, cada integral é zero (mesmo argumento do Passo 3). Se
,
pois
.
Passo 5
Calcular
.
Usando
chegamos ao mesmo raciocínio do passo anterior: se
, a integral se anula; se
,
, e portanto
.
Passo 6
Calcular
.
Pelo prostaférese,
e a integral de qualquer seno não nulo em
é zero. Logo
.
Resposta
A sequência
é ortonormal em
, pois