Seja C(-L, L) o conjunto das funções contínuas no intervalo [-L, L], com produto interno definido por
\langle f, g\rangle=\int_{-L}^{L} f(x) g(x) d x
Mostre que a sequência u_{0}(x), u_{1}(x), \ldots, u_{2 n} com
u_{0}(x)=\frac{1}{\sqrt{2 L}}, \quad u_{2 k}(x)=\frac{1}{\sqrt{L}} \cos \left(\frac{k \pi x}{L}\right) \quad \text { e } \quad u_{2 k-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{L}} \operatorname{sen}\left(\frac{k \pi x}{L}\right),
para k=1,2, \ldots, n, forma um conjunto ortonormal. Dica: Utiliza as fórmulas de Prostaférese.

Passo 1

O enunciado define o espaço C(-L,L) com o produto interno
\langle f,g\rangle=\int_{-L}^{L}f(x)\,g(x)\,dx
e nos dá a família
u_{0}(x)=\frac{1}{\sqrt{2L}},\quad u_{2k}(x)=\frac{1}{\sqrt{L}}\cos\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr),\quad u_{2k-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{L}}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr),
para k=1,2,\dots,n. Precisamos mostrar que
\langle u_{i},u_{j}\rangle=\delta_{ij},
ou seja, o conjunto é ortonormal. Vamos usar as fórmulas de prostaférese:
\cos A\cos B=\tfrac12\bigl[\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr],
\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B=\tfrac12\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr],
\operatorname{sen} A\cos B=\tfrac12\bigl[\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(A-B)\bigr].

Passo 2

Calcular \langle u_{0},u_{0}\rangle.
\langle u_{0},u_{0}\rangle =\int_{-L}^{L}\frac{1}{2L}\,dx =\frac{1}{2L}\cdot(2L) =1.

Passo 3

Mostrar \langle u_{0},u_{j}\rangle=0 para j\ge1.
Para u_{2k}:
\langle u_{0},u_{2k}\rangle =\int_{-L}^{L}\frac{1}{\sqrt{2L}}\cdot\frac{1}{\sqrt{L}}\cos\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\,dx =\frac{1}{\sqrt{2L^3}}\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Como \cos é par e seu período completa meio ciclo simétrico,
\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\,dx =\Bigl[\frac{L}{k\pi}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\Bigr]_{-L}^{L} =0.
Mesma argumentação vale para u_{2k-1} usando que \operatorname{sen} é ímpar, logo seu integral sobre [-L,L] é zero.

Passo 4

Calcular \langle u_{2k},u_{2m}\rangle.
\langle u_{2k},u_{2m}\rangle =\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Pelo prostaférese,
\cos A\cos B =\tfrac12\bigl[\cos(A+B)+\cos(A-B)\bigr].
Aqui A=\tfrac{k\pi x}{L}, B=\tfrac{m\pi x}{L}. Então
\langle u_{2k},u_{2m}\rangle =\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{(k+m)\pi x}{L}\bigr)\,dx +\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{(k-m)\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Se k\neq m, cada integral é zero (mesmo argumento do Passo 3). Se k=m,
\langle u_{2k},u_{2k}\rangle =\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\,dx =\frac{1}{L}\cdot L =1,
pois \int_{-L}^{L}\cos^{2}(\cdot)\,dx=L.

Passo 5

Calcular \langle u_{2k-1},u_{2m-1}\rangle.
\langle u_{2k-1},u_{2m-1}\rangle =\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Usando
\operatorname{sen} A\operatorname{sen} B =\tfrac12\bigl[\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr],
chegamos ao mesmo raciocínio do passo anterior: se k\neq m, a integral se anula; se k=m, \int_{-L}^{L}\operatorname{sen}^{2}(\cdot)\,dx=L, e portanto \langle u_{2k-1},u_{2k-1}\rangle=1.

Passo 6

Calcular \langle u_{2k},u_{2m-1}\rangle.
\langle u_{2k},u_{2m-1}\rangle =\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\,dx.
Pelo prostaférese,
\cos A\operatorname{sen} B =\tfrac12\bigl[\operatorname{sen}(A+B)+\operatorname{sen}(B-A)\bigr],
e a integral de qualquer seno não nulo em [-L,L] é zero. Logo \langle u_{2k},u_{2m-1}\rangle=0.

Resposta

A sequência \{u_{0},u_{1},\dots,u_{2n}\} é ortonormal em C(-L,L), pois
\langle u_{i},u_{j}\rangle=\delta_{ij}.

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