Determine o intervalo de convergência da série sumn=1^infty x^n2+n^2

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^inftyx^n2+n^2
O conteúdo é estudo de séries de potências e usaremos o teste da raiz (ou fórmula do raio de convergência) para determinar o conjunto de x em que a série converge.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz: consideramos
L=limsupntoinftyraiz[n]|x^n2+n^2| =limsupntoinfty|x|(2+n^2)^1/n
Como (2+n^2)^1/n=expl(tfrac1nln(n^2+2)r)to1, temos
L=limntoinfty|x|1=|x|
O teste da raiz diz que a série converge se L<1, ou seja, |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Concluímos que a série converge absolutamente para
|x|<1

Passo 4

Agora checamos o extremo x=1. A série torna-se
sumn=1^infty12+n^2,
que se compara a sum n^-2. Como sum n^-2 é convergente (série p com p=2>1), nossa série também converge em x=1.

Passo 5

Para x=-1 temos
sumn=1^infty(-1)^n2+n^2
A série absoluta é novamente sum1/(n^2+2), que converge pelo mesmo argumento de série p. Logo a série converge absolutamente (e portanto converge) em x=-1.

Resposta

O intervalo de convergência é
[-1,1]

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