O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo é estudo de séries de potências e usaremos o teste da raiz (ou fórmula do raio de convergência) para determinar o conjunto de em que a série converge.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz: consideramos
Como (2+n^2)^1/n=expl(tfrac1nln(n^2+2)r)to1, temos
L=limntoinfty|x|1=|x|
O teste da raiz diz que a série converge se L<1, ou seja, |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Concluímos que a série converge absolutamente para
|x|<1
Passo 4
Agora checamos o extremo x=1. A série torna-se
sumn=1^infty12+n^2,
que se compara a sum n^-2. Como sum n^-2 é convergente (série p com p=2>1), nossa série também converge em x=1.
Passo 5
Para x=-1 temos
sumn=1^infty(-1)^n2+n^2
A série absoluta é novamente sum1/(n^2+2), que converge pelo mesmo argumento de série p. Logo a série converge absolutamente (e portanto converge) em x=-1.