Encontre os valores de
para os quais a série de potências
é convergente
Passo 1
O exercício pede pra gente descobrir para quais valores de x a série de potências
converge. É um problema de séries de potências: vamos precisar achar o raio de convergência usando o teste da raiz (ou do quociente) e depois testar o comportamento nos extremos desse intervalo.
Passo 2
Vamos aplicar o teste da raiz. Definindo o termo geral sem o sinal alternante como
, o teste da raiz diz que a série converge se
. Calculando:
Como
, temos
Daí a convergência absoluta ocorre se
Passo 3
Sabendo que o raio de convergência é
, falta agora testar o que acontece em
.
Em
a série vira
Isso é a série harmônica alternante, que converge condicionalmente pelo critério de Leibniz (os termos
diminuem e tendem a zero).
Em
temos
que é menos a série harmônica pura, portanto diverge.
Passo 4
Juntando tudo: a série converge absolutamente quando
, converge condicionalmente em
e diverge em
. Logo o conjunto de convergência é
Resposta
(-3/2, 3/2]