Encontre os valores de x para os quais a série de potências sumn=1^infty(-1)^n+1 2^nn 3^n x^n é convergente

Passo 1

O exercício pede pra gente descobrir para quais valores de x a série de potências sumn=1^infty(-1)^n+12^nn,3^nx^n converge. É um problema de séries de potências: vamos precisar achar o raio de convergência usando o teste da raiz (ou do quociente) e depois testar o comportamento nos extremos desse intervalo.

Passo 2

Vamos aplicar o teste da raiz. Definindo o termo geral sem o sinal alternante como bn=2^nn,3^nx^n, o teste da raiz diz que a série converge se limntoinftyraiz[n]|bn|<1. Calculando:
raiz[n]|bn|=raiz[n]2^nn,3^n|x|^n=23|x|cdotraiz[n]tfrac1n
Como limntoinftyraiz[n]1/n=1, temos
limntoinftyraiz[n]|bn|=23|x|
Daí a convergência absoluta ocorre se
23|x|<1Longrightarrow|x|

Passo 3

Sabendo que o raio de convergência é R=3/2, falta agora testar o que acontece em x=pm3/2.
Em x=3/2 a série vira
sumn=1^infty(-1)^n+12^nn,3^nl(tfrac32r)^n =sumn=1^infty(-1)^n+11^nn =sumn=1^infty(-1)^n+1n
Isso é a série harmônica alternante, que converge condicionalmente pelo critério de Leibniz (os termos 1/n diminuem e tendem a zero).
Em x=-3/2 temos
sumn=1^infty(-1)^n+12^nn,3^nl(-tfrac32r)^n =sumn=1^infty(-1)^n+1(-1)^nn =sumn=1^infty(-1)^2n+1n =-sumn=1^infty1n,
que é menos a série harmônica pura, portanto diverge.

Passo 4

Juntando tudo: a série converge absolutamente quando |x|<3/2, converge condicionalmente em x=3/2 e diverge em x=-3/2. Logo o conjunto de convergência é
-tfrac32

Resposta

(-3/2, 3/2]

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