Seja a função . a) Encontre o domínio de . b) Escreva como uma série de potências. c) Encontre o domínio de .
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
a) o domínio de ,
b) a expressão de como série de potências,
c) o domínio de . Para resolver usamos testes de convergência de séries de potências e diferenciação termo a termo dentro do raio de convergência.
Passo 2
Para achar o raio de convergência aplicamos o teste da razão a
Temos
Logo o raio de convergência é R=1, ou seja, a série converge para |x|<1 e precisamos verificar os casos x=1 e x=-1.
Passo 3
Analisando os extremos para f(x):
- Em x=1 a série vira
sumn=0^infty1(n+1)^2
que é um p-série com p=2>1, logo converge.
- Em x=-1 a série é
sumn=0^infty(-1)^n+1(n+1)^2,
que também converge absolutamente (pois sum1/(n+1)^2 converge).
Portanto o domínio de f é
[-1,1]
Passo 4
Dentro do intervalo |x|<1 podemos diferenciar termo a termo:
ddxl(x^n+1(n+1)^2r) =(n+1),x^n(n+1)^2 =x^nn+1
Assim
f'(x)=sumn=0^inftyx^nn+1
Passo 5
Para f' o raio de convergência continua sendo 1. Verificamos os extremos da série
sumn=0^inftyx^nn+1,:
- Em x=1: sum1/(n+1) é a série harmônica, que diverge.
- Em x=-1: sum(-1)^n/(n+1) converge (é a série harmônica alternada).
Logo o domínio da série de f' é