Seja a função f(x)=sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2. a) Encontre o domínio de f. b) Escreva f^prime(x) como uma série de potências. c) Encontre o domínio de f^prime.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=sumn=0^inftyx^n+1(n+1)^2
e pede:
a) o domínio de f,
b) a expressão de f'(x) como série de potências,
c) o domínio de f'. Para resolver usamos testes de convergência de séries de potências e diferenciação termo a termo dentro do raio de convergência.

Passo 2

Para achar o raio de convergência aplicamos o teste da razão a
an=x^n+1(n+1)^2,
Temos
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x^n+2(n+2)^2cdot(n+1)^2x^n+1| =limntoinfty|x|cdot(n+1)^2(n+2)^2 =|x|
Logo o raio de convergência é R=1, ou seja, a série converge para |x|<1 e precisamos verificar os casos x=1 e x=-1.

Passo 3

Analisando os extremos para f(x):
- Em x=1 a série vira
sumn=0^infty1(n+1)^2
que é um p-série com p=2>1, logo converge.
- Em x=-1 a série é
sumn=0^infty(-1)^n+1(n+1)^2,
que também converge absolutamente (pois sum1/(n+1)^2 converge).
Portanto o domínio de f é
[-1,1]

Passo 4

Dentro do intervalo |x|<1 podemos diferenciar termo a termo:
ddxl(x^n+1(n+1)^2r) =(n+1),x^n(n+1)^2 =x^nn+1
Assim
f'(x)=sumn=0^inftyx^nn+1

Passo 5

Para f' o raio de convergência continua sendo 1. Verificamos os extremos da série
sumn=0^inftyx^nn+1,:
- Em x=1: sum1/(n+1) é a série harmônica, que diverge.
- Em x=-1: sum(-1)^n/(n+1) converge (é a série harmônica alternada).
Logo o domínio da série de f' é
[-1,1)

Resposta

(a) [-1,1]
(b) f'(x)=sumn=0^inftyx^nn+1
(c) [-1,1).

Exercícios relacionados