Use a definição de Transformada de Laplace para calcular Lf(t).
a) f(t)=e^t+7;

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática muito útil para analisar sistemas dinâmicos e resolver equações diferenciais. O que precisamos calcular aqui é a transformada de Laplace da função f(t) = e^t+7 . Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace, que transforma funções do tempo ( t ) para a frequência ( s ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Isso significa que para encontrar a transformada de f(t) , multiplicamos f(t) por e^-st e integramos de 0 a infinito.

Passo 3

Agora, substituímos f(t) na definição. Nosso f(t) é e^t+7 , então temos:
Le^t+7 = integral0^infty e^-st e^t+7 , dt

Passo 4

Simplificamos os expoentes. Como e^t+7 = e^t cdot e^7 , podemos reescrever a integral:
Le^t+7 = e^7 integral0^infty e^t e^-st , dt = e^7 integral0^infty e^t(1 - s) , dt

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
integral0^infty e^t(1 - s) , dt
Essa é uma integral exponencial simples. A antiderivada de e^kt é e^ktk , desde que k neq 0 .

Passo 6

Aplicando a antiderivada:
integral0^infty e^t(1 - s) , dt = [ e^t(1 - s)1 - s ]0^infty
Precisamos avaliar isso nos limites de 0 a infinito.

Passo 7

Avaliaremos os limites:
  • Para t to infty : se s > 1 , então 1 - s é negativo e e^t(1 - s) to 0 .
  • Para t = 0 : e^0 = 1 .
Então, a expressão fica:
01 - s - 11 - s = -11 - s

Passo 8

Voltando à nossa expressão original:
Le^t+7 = e^7 ( -11 - s ) = e^7s - 1

Resposta

A Transformada de Laplace de f(t) = e^t+7 é:
Le^t+7 = e^7s - 1

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