Use a definição de Transformada de Laplace para calcular
.
a)
;
a)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática muito útil para analisar sistemas dinâmicos e resolver equações diferenciais. O que precisamos calcular aqui é a transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace, que transforma funções do tempo (
) para a frequência (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. Ela é dada por:
Isso significa que para encontrar a transformada de
, multiplicamos
por
e integramos de 0 a infinito.
Passo 3
Agora, substituímos
na definição. Nosso
é
, então temos:
Passo 4
Simplificamos os expoentes. Como
, podemos reescrever a integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Essa é uma integral exponencial simples. A antiderivada de
é
, desde que
.
Passo 6
Aplicando a antiderivada:
Precisamos avaliar isso nos limites de 0 a infinito.
Passo 7
Avaliaremos os limites:
- Para
: se , então é negativo e . - Para
: .
Então, a expressão fica:
Passo 8
Voltando à nossa expressão original:
Resposta
A Transformada de Laplace de
é: