Verifique se sumn=1^infty(-1)^n+1 sen(pin) converge ou não

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série alternada sumn=1^infty(-1)^n+1sinl(tfracpinr). O conteúdo principal é o teste de Leibniz para séries alternadas, e vamos precisar mostrar que an=sinl(tfracpinr) é positiva, monótona decrescente (a partir de algum n) e tende a zero.

Passo 2

Definimos an=sinl(tfracpinr). Note que cada termo da série é (-1)^n+1an e an>0 para todo n.
Calculamos o limite de an:
limntoinftyan=limntoinftysinl(tfracpinr)=sin(0)=0

Passo 3

Para verificar a monotonicidade de an, considere a função contínua f(x)=sin(pi/x) para x>=2. Sua derivada é
f'(x)=-pix^2cosl(tfracpixr)
Como para x>=2 temos 0 e, portanto, cos(pi/x)>0, segue que f'(x)<0. Logo, an=f(n) é decrescente para n>=2.

Passo 4

Pelos três requisitos do teste de Leibniz ( an>0, an decrescente e anto0), a série sum(-1)^n+1an converge. Entretanto, a convergência não é absoluta, pois
sumn=1^infty|(-1)^n+1an|=sumn=1^inftysinl(tfracpinr)simsumn=1^inftypin,
o que é equivalente à série harmônica e, portanto, diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente (pela série alternada de Leibniz) mas não converge absolutamente.

Exercícios relacionados