Verifique se
converge ou não
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência da série alternada
. O conteúdo principal é o teste de Leibniz para séries alternadas, e vamos precisar mostrar que
é positiva, monótona decrescente (a partir de algum
) e tende a zero.
Passo 2
Definimos
. Note que cada termo da série é
e
para todo
.
Calculamos o limite de :
Calculamos o limite de
Passo 3
Para verificar a monotonicidade de
, considere a função contínua
para
. Sua derivada é
Como para
temos
e, portanto,
, segue que
. Logo,
é decrescente para
.
Passo 4
Pelos três requisitos do teste de Leibniz (
,
decrescente e
), a série
converge. Entretanto, a convergência não é absoluta, pois
o que é equivalente à série harmônica e, portanto, diverge.
Resposta
A série converge condicionalmente (pela série alternada de Leibniz) mas não converge absolutamente.