Questão 3: Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
f(x, y)=cccx yx^2+x y+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 1 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= x,yx^2+x,y+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[1em] 1,&se (x,y)=(0,0)
Queremos o maior conjunto onde f é contínua. Vamos usar que quocientes de polinômios são contínuos quando o denominador é não nulo e analisar separadamente o ponto (0,0).]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) o denominador
x^2+x,y+y^2
é uma forma quadrática definida positiva (pois o discriminante 1-4=-3<0), logo só é zero em (0,0). Assim, em todo ponto com (x,y)neq(0,0) temos denominador não nulo e f é quociente de funções polinomiais contínuas. Portanto
f é contínua em (x,y)inR^2:(x,y)neq(0,0) éí

Passo 3

No ponto (0,0) testamos o limite
lim(x,y)to(0,0)x,yx^2+x,y+y^2
Se tomarmos y=x,
xcdot xx^2+x^2+x^2=x^23x^2=13,
enquanto se tomarmos y=0, obtemos
xcdot0x^2+0+0=0
Como os limites por essas duas direções são diferentes, o limite geral não existe e, em particular, não coincide com f(0,0)=1. Logo f é descontínua em (0,0).

Resposta

O maior conjunto de continuidade de f é
(x,y)inR^2mid (x,y)neq(0,0)

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