Responda as questōes sobre
sabendo que
Para que valor o limite se aproxima quando
se aproxima de 0 ao longo da reta
ao longo da reta
? As respostas implicam dizer que o limite existe ou nāo existe? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites de funções de duas variáveis, especificamente para números complexos. A gente precisa encontrar o limite da função
quando
(que é
) se aproxima de 0, seguindo duas retas diferentes:
e
. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções multivariáveis e entender se o limite existe ou não dependendo do caminho que a gente escolhe.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
Aqui,
, onde
e
são números reais. Nosso objetivo é ver o que acontece com
quando
se aproxima de 0 ao longo das retas
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando o limite ao longo da reta
. Substituindo
por
na função:
Então, o limite de
quando
se aproxima de 0 ao longo de
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite ao longo da reta
. Substituindo
por
na função:
Surpresa! O limite de
quando
se aproxima de 0 ao longo de
também é
.
Passo 5
Até agora, vimos que os limites ao longo das duas retas são iguais:
. Mas será que isso garante que o limite geral existe? Na verdade, não necessariamente. Para o limite existir em
, ele precisa ser o mesmo independente de qualquer caminho que escolhemos para chegar a 0. Vamos testar outro caminho para ter certeza.
Passo 6
Vamos tentar o caminho
, ou seja, aproximar-se de 0 ao longo do eixo real. Substituindo
na função:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que é indefinido. Isso significa que o limite não existe ao longo desse caminho.
Passo 7
Como encontramos pelo menos um caminho (no caso,
) onde o limite não existe ou é diferente dos outros caminhos, podemos concluir que o limite geral de
quando
não existe.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 0 ao longo das retas
e
é
. No entanto, como existem outros caminhos (como
) onde o limite não existe ou difere, concluímos que o limite geral de
em
não existe.