Responda as questōes sobre lim z 0 f(z) sabendo que
f(z)=2 y^2x^2-i(x^2+y^2y^2)
Para que valor o limite se aproxima quando z se aproxima de 0 ao longo da reta y=x ? E ao longo da reta y=-x ? As respostas implicam dizer que o limite existe ou nāo existe? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites de funções de duas variáveis, especificamente para números complexos. A gente precisa encontrar o limite da função f(z) quando z (que é x + iy ) se aproxima de 0, seguindo duas retas diferentes: y = x e y = -x . Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções multivariáveis e entender se o limite existe ou não dependendo do caminho que a gente escolhe.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
f(z) = 2 y^2x^2 - i(x^2+y^2y^2)
Aqui, z = x + iy , onde x e y são números reais. Nosso objetivo é ver o que acontece com f(z) quando z se aproxima de 0 ao longo das retas y = x e y = -x .

Passo 3

Vamos começar calculando o limite ao longo da reta y = x . Substituindo y por x na função:
f(z) = 2 x^2x^2 - i(x^2+x^2x^2) = 2 - i(2x^2x^2) = 2 - i(2) = 2 - 2i
Então, o limite de f(z) quando z se aproxima de 0 ao longo de y = x é 2 - 2i .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite ao longo da reta y = -x . Substituindo y por -x na função:
f(z) = 2 (-x)^2x^2 - i(x^2+(-x)^2(-x)^2) = 2 x^2x^2 - i(2x^2x^2) = 2 - i(2) = 2 - 2i
Surpresa! O limite de f(z) quando z se aproxima de 0 ao longo de y = -x também é 2 - 2i .

Passo 5

Até agora, vimos que os limites ao longo das duas retas são iguais: 2 - 2i . Mas será que isso garante que o limite geral existe? Na verdade, não necessariamente. Para o limite existir em z to 0 , ele precisa ser o mesmo independente de qualquer caminho que escolhemos para chegar a 0. Vamos testar outro caminho para ter certeza.

Passo 6

Vamos tentar o caminho y = 0 , ou seja, aproximar-se de 0 ao longo do eixo real. Substituindo y = 0 na função:
f(z) = 2 cdot 0^2x^2 - i(x^2+0^20^2) = 0 - i(x^20)
Aqui, temos uma divisão por zero, o que é indefinido. Isso significa que o limite não existe ao longo desse caminho.

Passo 7

Como encontramos pelo menos um caminho (no caso, y = 0 ) onde o limite não existe ou é diferente dos outros caminhos, podemos concluir que o limite geral de f(z) quando z to 0 não existe.

Resposta

O limite de f(z) quando z se aproxima de 0 ao longo das retas y = x e y = -x é 2 - 2i . No entanto, como existem outros caminhos (como y = 0 ) onde o limite não existe ou difere, concluímos que o limite geral de f(z) em z to 0 não existe.

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