Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 (n+1) x^nn!

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
sumn=1^infty(-1)^n+1(n+1)x^nn!
O que vamos usar é o teste da razão para séries de potências, que nos dá o raio de convergência R a partir de
limntoinfty|an+1an|,
onde an = (-1)^n+1(n+1)x^nn!.

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos em valor absoluto:
an+1 = (-1)^n+2(n+2)x^n+1(n+1)!,
logo
|an+1an| = (n+2),|x|^n+1(n+1)!(n+1),|x|^nn! = n+2n+1,|x|,n+1,

Passo 3

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|an+1an| = limntoinftyn+2(n+1)^2,|x| = 0para todo (x)
Como esse limite é zero (menor que 1) para qualquer valor de |x|, o raio de convergência é infinito.

Passo 4

Se o raio de convergência é R=infty, então a série converge para todo xinR.

Resposta

O intervalo de convergência é (-infty,infty).

Exercícios relacionados