Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências centrada em zero
O que vamos usar é o teste da razão para séries de potências, que nos dá o raio de convergência
a partir de
onde
an = (-1)^n+1(n+1)x^nn! .
Passo 2
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos em valor absoluto:
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Passo 3
Agora tomamos o limite quando
ntoinfty :
Como esse limite é zero (menor que 1) para qualquer valor de
|x| , o raio de convergência é infinito.
Passo 4
Se o raio de convergência é
R=infty , então a série converge para todo
xinR .
Resposta
O intervalo de convergência é
(-infty,infty) .