Use a definição de limite para provar as seguintes igualdades.
lim 1n^2=0

Passo 1

O enunciado define a sequência l(anr) por
an = 1n^2
e pede para provar, usando a definição de limite, que
limntoinftyan = 0
O conteúdo aqui é a definição formal de limite de sequência.

Passo 2

A definição de limite diz que anto 0 se, e somente se, para todo varepsilon>0 existe NinN tal que, sempre que n>= N, temos
l|an - 0r| < varepsilon

Passo 3

No nosso caso l|an - 0r| = l|tfrac1n^2r| = tfrac1n^2. Queremos então
1n^2 < varepsilon
Isso equivale a
n^2 > 1varepsilon Long<=ftrightarrow n > 1raizvarepsilon

Passo 4

Dado varepsilon>0, basta escolher
N = lceil 1raizvarepsilonrceil
De fato, se n>= N então n>= tfrac1raizvarepsilon e portanto
1n^2 <= 1N^2 < varepsilon
Logo l|an - 0r| < varepsilon sempre que n>= N.

Passo 5

Isso mostra exatamente que, para todo varepsilon>0, existe um N que garante l|an-0r|<varepsilon sempre que n>= N. Assim, por definição,

Resposta

limntoinfty1n^2 = 0

Exercícios relacionados