Use a definição de limite para provar as seguintes igualdades.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede para provar, usando a definição de limite, que
O conteúdo aqui é a definição formal de limite de sequência.
Passo 2
A definição de limite diz que
se, e somente se, para todo
existe
tal que, sempre que
, temos
Passo 3
No nosso caso
l|an - 0r| = l|tfrac1n^2r| = tfrac1n^2 . Queremos então
Isso equivale a
Passo 4
Dado
varepsilon>0 , basta escolher
De fato, se
n>= N então
n>= tfrac1raizvarepsilon e portanto
Logo
l|an - 0r| < varepsilon sempre que
n>= N .
Passo 5
Isso mostra exatamente que, para todo
varepsilon>0 , existe um
N que garante
l|an-0r|<varepsilon sempre que
n>= N . Assim, por definição,