A função
é de classe
C^1 ? Por quê?
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
f é de classe
C^1 .
Para serC^1 em
R^2 precisamos que
Para ser
-
seja contínua em todo ponto, em especial emf .(0,0) - As derivadas parciais existam em todo ponto e sejam contínuas, em particular no ponto
.(0,0)
Passo 2
Mostramos primeiro que
f é contínua em
(0,0) . Para
(x,y)neq(0,0) , escrevendo
r=raizx^2+y^2 temos
À medida que
(x,y)to(0,0) ,
rto0 e
r^2to0 . Logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0) , e
f é contínua em
(0,0) .
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais em
(0,0) pelo limite de definição.
Analogamente,
Passo 4
Para
(x,y)neq(0,0) , usamos regra do quociente. Com
D=x^2+y^2 obtemos
Passo 5
Verificamos que essas expressões tendem a zero quando
(x,y)to(0,0) . Com
r=raizx^2+y^2 temos
Como em
(0,0) ambas valem
0 , concluímos que as derivadas parciais existem em todo ponto e são contínuas em
R^2 .
Resposta
A função
f é de classe
C^1 em
R^2 porque é contínua, tem derivadas parciais existentes em todo ponto e essas derivadas são contínuas, inclusive em
(0,0) .