A função f(x, y)=clx^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) é de classe C^1 ? Por quê?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= x^4x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pergunta se f é de classe C^1.
Para ser C^1 em R^2 precisamos que
  1. f seja contínua em todo ponto, em especial em (0,0).
  2. As derivadas parciais existam em todo ponto e sejam contínuas, em particular no ponto (0,0).

Passo 2

Mostramos primeiro que f é contínua em (0,0). Para (x,y)neq(0,0), escrevendo r=raizx^2+y^2 temos
0<= l|f(x,y)r| =|x|^4r^2 <=r^4r^2 =r^2
À medida que (x,y)to(0,0), rto0 e r^2to0. Logo lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0), e f é contínua em (0,0).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pelo limite de definição.
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0tfrach^4h^2-0h =limhto0h^2h =limhto0h =0
Analogamente,
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-0h =limhto00h =0

Passo 4

Para (x,y)neq(0,0), usamos regra do quociente. Com D=x^2+y^2 obtemos
partial fpartial x(x,y) =4x^3,D - x^4cdot2xD^2 =2x^3(x^2+2y^2)(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y(x,y) =0cdot D - x^4cdot2yD^2 =-2x^4y(x^2+y^2)^2

Passo 5

Verificamos que essas expressões tendem a zero quando (x,y)to(0,0). Com r=raizx^2+y^2 temos
l|tfracpartial fpartial x(x,y)r| <= 2|x|^3(x^2+2y^2)r^4 <= 2r^3cdot3r^2r^4 =6r ;xrightarrowrto0;0,
l|tfracpartial fpartial y(x,y)r| <= 2|x|^4|y|r^4 <= 2r^5r^4 =2r ;xrightarrowrto0;0
Como em (0,0) ambas valem 0, concluímos que as derivadas parciais existem em todo ponto e são contínuas em R^2.

Resposta

A função f é de classe C^1 em R^2 porque é contínua, tem derivadas parciais existentes em todo ponto e essas derivadas são contínuas, inclusive em (0,0).

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