Estudar a natureza das séries seguinte e determine a soma, caso seja possivel:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a natureza da série
ou seja, verificar convergência e, se convergir, calcular sua soma. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais e soma telescópica.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais de
. Suponha
Multiplicando ambos os lados por
e comparando coeficientes, obtemos
Logo,
Uma forma mais direta é notar que
o que já mostra o formato telescópico.
Passo 3
Defina a
-ésima soma parcial
Observe que isso se expande em termos que se cancelam em cadeia:
Passo 4
Na soma telescópica, quase tudo cancela, sobrando apenas o primeiro termo positivo e o último negativo:
Ao tomar o limite
, o termo
vai a zero, logo
Resposta
A série é convergente (pela soma telescópica) e sua soma é
.