Estudar a natureza das séries seguinte e determine a soma, caso seja possivel:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}
ou seja, verificar convergência e, se convergir, calcular sua soma. O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais e soma telescópica.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais de \frac{1}{n(n+1)(n+2)}. Suponha
\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+2}.
Multiplicando ambos os lados por n(n+1)(n+2) e comparando coeficientes, obtemos
A=\tfrac12,\quad B=-1,\quad C=\tfrac12.
Logo,
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac12\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}\Bigr).
Uma forma mais direta é notar que
\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac12\Bigl(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr),
o que já mostra o formato telescópico.

Passo 3

Defina a N-ésima soma parcial
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)(n+2)} =\frac12\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr).
Observe que isso se expande em termos que se cancelam em cadeia:
S_N=\frac12\Bigl(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3} +\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4} +\cdots +\frac{1}{N(N+1)}-\frac{1}{(N+1)(N+2)}\Bigr).

Passo 4

Na soma telescópica, quase tudo cancela, sobrando apenas o primeiro termo positivo e o último negativo:
S_N=\frac12\Bigl(\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{(N+1)(N+2)}\Bigr) =\frac12\Bigl(\frac12-\frac{1}{(N+1)(N+2)}\Bigr).
Ao tomar o limite N\to\infty, o termo \frac{1}{(N+1)(N+2)} vai a zero, logo
\lim_{N\to\infty}S_N =\frac12\cdot\frac12 =\frac14.

Resposta

A série é convergente (pela soma telescópica) e sua soma é \frac14.

Exercícios relacionados