encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+y=3 \operatorname{sen} 2 t+t \cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 3\sin(2t) + t\cos(2t).
Para resolver, vamos:
  1. achar a solução geral da homogênea associada;
  2. encontrar uma solução particular para cada termo do lado direito;
  3. somar tudo.

Passo 2

A homogênea é
y'' + y = 0
com equação característica r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r = \pm i. Logo a solução geral homogênea é
y_h(t) = C_1\cos t + C_2\sin t.

Passo 3

Para o termo 3\sin(2t), usamos o ansatz
y_{p1}(t) = A\cos(2t)+B\sin(2t).
Calculando
y_{p1}'' + y_{p1} = (-4+1)(A\cos2t + B\sin2t) = -3A\cos2t -3B\sin2t
e igualando a 3\sin2t
-3A = 0,\quad -3B = 3 \quad\Longrightarrow\quad A=0,\;B=-1.
Assim
y_{p1}(t) = -\sin(2t).

Passo 4

Para o termo t\cos(2t), adotamos
y_{p2}(t) = (a t + b)\cos(2t) + (c t + d)\sin(2t).
Calculando y_{p2}''+y_{p2} e igualando a t\cos2t obtemos o sistema em a,b,c,d. A solução é
a = -\tfrac13,\quad b=0,\quad c=0,\quad d=\tfrac49,
logo
y_{p2}(t) = -\tfrac13\,t\cos(2t) + \tfrac49\,\sin(2t).

Passo 5

A solução particular total é
y_p(t) = y_{p1}(t) + y_{p2}(t) = -\sin(2t)\;-\;\tfrac13\,t\cos(2t)\;+\;\tfrac49\,\sin(2t) = -\tfrac13\,t\cos(2t)\;-\;\tfrac59\,\sin(2t).
Então a solução geral da equação é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1\cos t + C_2\sin t \;-\;\tfrac13\,t\cos(2t)\;-\;\tfrac59\,\sin(2t).

Resposta

y(t) = C_1\cos t + C_2\sin t \;-\;\frac13\,t\cos(2t)\;-\;\frac59\,\sin(2t).

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