Determine o intervalo de convergência para a série sumn=0^+infty (-2)^n cdot(x+2)^nraizn

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty(-2)^n(x+2)^nraizn. O conteúdo é séries de potências centradas em x0=-2, e vamos precisar do teste da raiz para achar o raio de convergência e depois testar os extremos usando o teste de Leibniz e o comportamento de séries tipo sum n^-p.

Passo 2

Usamos o teste da raiz, que diz que a série sum an (x+2)^n converge se limsupntoinftyraiz[n]|an|,|x+2|<1. Aqui an=(-2)^nraizn, então

Passo 3

limsupntoinftyraiz[n]l|tfrac(-2)^nraiznr| = limsupntoinfty2n^1/(2n) = 2

Passo 4

Da condição 2,|x+2|<1 segue que o raio de convergência é R=tfrac12, isto é, convergência absoluta para

Passo 5

|x+2|<tfrac12

Passo 6

Agora testamos os extremos:

Passo 7

Para x=-2+tfrac12=-tfrac32 temos x+2=tfrac12 e a série vira

Passo 8

sumn=1^infty(-2)^n(1/2)^nraizn = sumn=1^infty(-1)^nraizn,

Passo 9

que converge condicionalmente pelo teste de Leibniz, pois 1/raizn é decrescente e tende a zero.

Passo 10

Para x=-2-tfrac12=-tfrac52 temos x+2=-tfrac12 e a série vira

Passo 11

sumn=1^infty(-2)^n(-1/2)^nraizn = sumn=1^infty1raizn,

Passo 12

que diverge pois é uma série p-série com p=1/2<=1.

Resposta

O intervalo de convergência é l(-tfrac52,,-tfrac32r].

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