Determine o limite ou mostre que não existe:
lim (x, y) (0,0) x yx^22+3 y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) x,yx^22+3y^2,
que é um caso de limite de função de duas variáveis. Para verificar existência, vamos testar aproximações por diferentes caminhos em que (x,y)to(0,0).

Passo 2

Se aproximarmos por y=0, então
x,yx^22+3y^2 =xcdot 0x^22+0 =0
Logo, por esse caminho, o limite vale 0.

Passo 3

Agora aproximemos por retas do tipo y=m,x, com m constante. Substituindo temos
x,(m,x)x^22+3(m,x)^2 =m,x^2x^2l(tfrac12+3m^2r) =mtfrac12+3m^2,
que é independente de x e depende de m.

Passo 4

Como o valor
mtfrac12+3m^2
varia quando m muda (por exemplo, para m=0 0 e para m=1 tfrac1tfrac12+3= tfrac13,5neq0), concluímos que não há valor único do limite.

Resposta

O limite não existe.

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