Determine o intervalo de convergência das séries abaixo:
sumn=1^infty (-1)^n-1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty (-1)^n-1 x^2n-1(2n-1)!
Queremos descobrir para quais valores de x essa série converge, ou seja, para quais x a soma dos termos da série se aproxima de um número específico. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a determinar o intervalo de convergência de séries.

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série geral an , calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , a série diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, a série geral an é:
an = (-1)^n-1 x^2n-1(2n-1)!

Passo 3

Agora, vamos calcular an+1 :
an+1 = (-1)^(n+1)-1 x^2(n+1)-1(2(n+1)-1)! = (-1)^n x^2n+1(2n+1)!

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, temos:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n x^2n+1 / (2n+1)!(-1)^n-1 x^2n-1 / (2n-1)! |
Simplificando os termos:
L = limn to infty | (-1)^n(-1)^n-1 cdot x^2n+1x^2n-1 cdot (2n-1)!(2n+1)! |

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
  1. (-1)^n(-1)^n-1 = -1
  2. x^2n+1x^2n-1 = x^2
  3. (2n-1)!(2n+1)! = 1(2n)(2n+1)
Então, temos:
L = limn to infty |-1| cdot |x^2| cdot 1(2n)(2n+1) = limn to infty |x^2| cdot 14n^2 + 2n

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite:
À medida que n cresce, 4n^2 + 2n também cresce sem limites, então 14n^2 + 2n tende a 0.
Portanto:
L = |x^2| cdot 0 = 0

Resposta

Como L = 0 < 1 para qualquer valor de x , a série converge para todos os números reais. Ou seja, o intervalo de convergência é:
(-infty, +infty)

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