Use a fórmula de mudança de variáveis para calcular a integral definida.
integral0^1(x+1)(x^2+2 x)^5 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
integral0^1(x+1)l(x^2+2xr)^5,dx
usando a fórmula de mudança de variáveis (u-substitution). Vamos escolher uma substituição que simplifique o fator (x+1),dx.

Passo 2

Definimos
u = x^2 + 2x
Diferenciando,
du = (2x + 2),dx = 2(x+1),dx Longrightarrow (x+1),dx = du2

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração:
quando x=0, u = 0^2 + 2cdot0 = 0;
quando x=1, u = 1^2 + 2cdot1 = 3.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
integral0^1(x+1)(x^2+2x)^5,dx = integralu=0^3 u^5,du2 = 12integral0^3u^5,du
Agora integramos:
12integral0^3u^5,du = 12l[u^66r]0^3 = 112l(3^6-0r)

Passo 5

Calculando 3^6=729, temos
112times 729 = 72912 = 2434

Resposta

2434

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