Use a fórmula de mudança de variáveis para calcular a integral definida.
integral0^4 x raizx^2+9 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^4 x raizx^2+9,dx
usando a técnica de mudança de variáveis. Vamos usar uma substituição do tipo u = x^2+9, que simplifica a raiz e o fator x,dx.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = x^2 + 9,
temos
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2

Passo 3

Quando x varia de 0 a 4, os limites em u são
se x=0,;u=0^2+9=9, se x=4,;u=4^2+9=25
Substituindo na integral original,
integral0^4 x raizx^2+9,dx = integralu=9^u=25 raizu,du2 = 12integral9^25 u^tfrac12,du

Passo 4

Agora calculamos a antiderivada de u^tfrac12:
integral u^tfrac12,du = u^tfrac32tfrac32 = 23,u^tfrac32
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12integral9^25 u^tfrac12,du = 12cdot23,u^tfrac32|9^25 = 13,u^tfrac32|9^25

Passo 5

Avaliaremos nos limites u=25 e u=9:
u^tfrac32|9^25 = 25^tfrac32-9^tfrac32 = 125-27 = 98
Portanto o valor da integral é
13times 98 = 983

Resposta

983

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