Use a fórmula de mudança de variáveis para calcular a integral definida.
integral1^2 4 x+12(x^2+6 x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral1^2 4 x+12l(x^2+6 x+1r)^2,dx
usando mudança de variável. O conteúdo aqui é a técnica de substituição, escolhendo uma u que torne o denominador mais simples.

Passo 2

Definimos
u = x^2 + 6x + 1,
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du = (2x + 6),dx = 2(x+3),dx
Note que o numerador satisfaz
4x + 12 = 4(x+3) = 2cdot 2(x+3),
o que se relaciona com du. Atualizando os limites: quando x=1 temos u=1+6+1=8; quando x=2 temos u=4+12+1=17.

Passo 3

Substituindo na integral:
integral1^2 4x + 12(x^2+6x+1)^2,dx = integral8^17 4(x+3)u^2cdot du2(x+3) = integral8^17 2u^2,du

Passo 4

Calculamos a primitiva em u:
integral 2u^2,du = 2integral u^-2,du = 2l(-u^-1r) = -2u
Avaliaremos de u=8 a u=17:
-2uvert8^17 = -217 -l(-28r) = -217 + 14 = 14 - 217 = 17-868 = 968

Resposta

968

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