Determine o intervalo de convergência das séries abaixo:
sumn=1^infty (x-2)^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série infinita sumn=1^infty (x-2)^nn^2. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e o Teste da Razão, que ajuda a determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, identifique a forma geral da série: sumn=1^infty (x-2)^nn^2. Aqui, an = (x-2)^nn^2.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que diz que temos que calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste não é conclusivo.

Passo 4

Calculemos :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | (x-2) cdot n^2(n+1)^2 | = |x-2| cdot limn to infty ( nn+1 )^2 = |x-2| cdot (1)^2 = |x-2|

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|x-2| < 1
Isso significa que x está a menos de 1 unidade de 2.

Passo 7

Resolvendo a desigualdade:
-1 < x - 2 < 1
Adicionando 2 em todos os lados:
1 < x < 3

Passo 8

Agora, verificamos as extremidades x = 1 e x = 3 para ver se a série converge nesses pontos.
  • Para x = 1:
sumn=1^infty (1-2)^nn^2 = sumn=1^infty (-1)^nn^2
Essa é uma série alternada e converge pelo Teste da Série Alternada.
  • Para x = 3:
sumn=1^infty (3-2)^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2
Essa é a série p com p = 2, que converge porque p > 1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é [1, 3].

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