Determine o intervalo de convergência das séries dadas: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{3^{n+1}} x^{n}
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{3^{n+1}}\,x^{n}.
Aqui o conteúdo é série de potências e vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Sejam a_n=\frac{n}{3^{n+1}}. Aplicando o teste da razão, calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}\,x^{\,n+1}}{a_n\,x^n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{n+1}{3^{n+2}}\,x^{\,n+1}}{\frac{n}{3^{n+1}}\,x^n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{n}\cdot\frac{x}{3}\right| =\frac{|x|}{3}.
Para convergir pelo teste da razão, precisamos de L<1.
Passo 3
Da condição \frac{|x|}{3}<1 segue
|x|<3,
logo o raio de convergência é R=3 e a série converge em -3<x<3.