Determine o intervalo de convergência das séries dadas:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{3^{n+1}} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{3^{n+1}}\,x^{n}.
Aqui o conteúdo é série de potências e vamos usar o teste da razão para determinar o raio de convergência.

Passo 2

Sejam a_n=\frac{n}{3^{n+1}}. Aplicando o teste da razão, calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}\,x^{\,n+1}}{a_n\,x^n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{n+1}{3^{n+2}}\,x^{\,n+1}}{\frac{n}{3^{n+1}}\,x^n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{n}\cdot\frac{x}{3}\right| =\frac{|x|}{3}.
Para convergir pelo teste da razão, precisamos de L<1.

Passo 3

Da condição \frac{|x|}{3}<1 segue
|x|<3,
logo o raio de convergência é R=3 e a série converge em -3<x<3.

Passo 4

Testamos agora os extremos:
  • Em x=3 a série fica
    \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{3^{n+1}}\;3^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{3},
    cujo termo geral não tende a zero ( n/3\not\to0), logo diverge.
  • Em x=-3 a série fica
    \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{3^{n+1}}(-3)^n =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n(-1)^n}{3},
    e novamente o termo geral \tfrac{n(-1)^n}{3} não tende a zero, então diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (-3,3).

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