Escrever a expansão das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n-1)}{n^{2}} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede para escrever a expansão em série de potências de
S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n-1)}{n^{2}}\,x^{n}.
O método é simplesmente calcular os primeiros termos substituindo valores inteiros de n.

Passo 2

Substituindo valores de n:
Para n=1:
\frac{(-1)^{1}(1-1)}{1^{2}}\,x^{1}=0.
Para n=2:
\frac{(-1)^{2}(2-1)}{2^{2}}\,x^{2} =\frac{1\cdot1}{4}\,x^{2} =\frac{x^{2}}{4}.
Para n=3:
\frac{(-1)^{3}(3-1)}{3^{2}}\,x^{3} =-\frac{2}{9}\,x^{3}.
Para n=4:
\frac{(-1)^{4}(4-1)}{4^{2}}\,x^{4} =\frac{3}{16}\,x^{4}.
Para n=5:
\frac{(-1)^{5}(5-1)}{5^{2}}\,x^{5} =-\frac{4}{25}\,x^{5}.

Passo 3

Como o termo em n=1 é zero, a expansão não tem termo em x e começa em x^{2}. Reunindo:
S(x) =\frac{x^{2}}{4} -\frac{2x^{3}}{9} +\frac{3x^{4}}{16} -\frac{4x^{5}}{25} +\cdots.

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n-1)}{n^{2}}\,x^{n} =\frac{x^{2}}{4} -\frac{2x^{3}}{9} +\frac{3x^{4}}{16} -\frac{4x^{5}}{25} +\cdots.

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