Escrever a expansão das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{n+1}(x+3)^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências em torno de x=-3 da soma
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\,n}{n+1}(x+3)^{n-1}.
Para isso, vamos usar a técnica de troca de índice de somatório e obter a forma
\sum_{k=0}^{\infty}a_k\,(x+3)^k, depois escrever os primeiros termos.

Passo 2

Fazendo a troca de índice k=n-1, temos n=k+1 e quando n vai de 1 a \infty, k vai de 0 a \infty. Substituindo no termo geral:
\frac{(-1)^{n+1}\,n}{n+1}(x+3)^{n-1} =\frac{(-1)^{(k+1)+1}\,(k+1)}{(k+1)+1}(x+3)^{k} =\frac{(-1)^{k+2}\,(k+1)}{k+2}(x+3)^{k}.

Passo 3

Como (-1)^{k+2}=(-1)^k, o coeficiente geral fica
a_k = (-1)^k\,\frac{k+1}{k+2},
de modo que a série reescreve-se como
\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\,\frac{k+1}{k+2}\,(x+3)^k.

Passo 4

Agora basta escrever os primeiros termos, substituindo k=0,1,2,3,\dots:
\frac{1}{2} -\frac{2}{3}(x+3) +\frac{3}{4}(x+3)^2 -\frac{4}{5}(x+3)^3 +\cdots +\;(-1)^k\frac{k+1}{k+2}(x+3)^k +\cdots

Resposta

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}n}{n+1}(x+3)^{n-1} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{k+1}{k+2}(x+3)^k =\frac12-\frac{2}{3}(x+3)+\frac{3}{4}(x+3)^2-\frac{4}{5}(x+3)^3+\cdots.

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