Determine o intervalo de convergência das séries dadas:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{\sqrt{n+1}}(x+1)^{n+1}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{\sqrt{n+1}}\,(x+1)^{n+1}.
Isto é um problema de séries de potências centradas em x=-1. Para resolver vamos (1) reescrever em forma padrão, (2) determinar o raio de convergência via teste da raiz, e (3) testar os extremos do intervalo.

Passo 2

Reescrevendo a soma em potência de (x+1) com índice m=n+1:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^{n}}{\sqrt{n+1}}\,(x+1)^{n+1} =\sum_{m=1}^{\infty} \underbrace{\frac{(-3)^{m-1}}{\sqrt{m}}}_{c_m}\,(x+1)^{m}.
Aqui o coeficiente geral é
c_m = \frac{(-3)^{m-1}}{\sqrt{m}}\quad(m\ge1).

Passo 3

Aplicamos o teste da raiz no coeficiente c_m:
\lim_{m\to\infty}\bigl|c_m\bigr|^{1/m} =\lim_{m\to\infty}\frac{3^{(m-1)/m}}{m^{1/(2m)}} =3.
O raio de convergência R satisfaz 1/R =3, logo
R = \frac{1}{3}.
Assim, a série converge para
|x+1|<\tfrac13.

Passo 4

Os pontos extremos são dados por
x+1 = \pm \tfrac13 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 \pm \tfrac13,
isto é x=-\tfrac{2}{3} e x=-\tfrac{4}{3}.

Passo 5

Em x=-\tfrac{2}{3} temos x+1 = \tfrac13. A série vira
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-3)^{n}}{\sqrt{n+1}}\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n+1} =\tfrac13\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}},
que é uma série alternante cujos termos 1/\sqrt{n+1} decrescem a zero. Pelo critério de Leibniz ela converge.

Passo 6

Em x=-\tfrac{4}{3} temos x+1 = -\tfrac13. A série fica
-\tfrac13\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}},
pois (-3)(-1/3)=1. E \sum1/\sqrt{n+1} diverge (p-série com p=\tfrac12\le1). Logo neste extremo a série diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é
-\,\tfrac{4}{3} < x \le -\,\tfrac{2}{3}.

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