Determine o intervalo de convergência das séries dadas:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{n!}(x-2)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{n!}(x-2)^{n}
e pede o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar o teste da razão, que é um método padrão para determinar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Denotando
a_n = \frac{2}{n!}(x-2)^{n},
o teste da razão pede que calculemos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{\frac{2}{(n+1)!}(x-2)^{n+1}}{\frac{2}{n!}(x-2)^n}\right| = \frac{|x-2|}{n+1}.

Passo 3

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{|x-2|}{n+1}=0<1
para qualquer valor de x, o teste da razão mostra que a série converge para todo x\in\mathbb{R}. Logo, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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