Determine o intervalo de convergência das séries e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x
(k) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(\ln n)}
Passo 1
A série em estudo é
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,\ln n}.
O que nos pedem é (i) o intervalo de convergência e (ii) a expressão da soma como função de x dentro desse intervalo.
Para (i) vamos usar o teste da razão e, nos pontos de fronteira, o teste da série harmônica e o critério de Leibniz. Para (ii), observamos que não existe forma elementar fechada em termos de funções elementares usuais: a soma define uma nova função analítica em |x|<1.
Não existe expressão em termos de funções elementares padrões (polinômios, exponencial, logaritmo comum, etc.). Portanto, a própria série é a definição da soma como função de x.
Resposta
O intervalo de convergência é \;[-1,1).
Para |x|<1, a soma da série é a função
S(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,\ln n},
que não se reduz a nenhuma forma elementar mais simples.