Determine o intervalo de convergência das séries e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x
(k) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(\ln n)}

Passo 1

A série em estudo é
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,\ln n}.
O que nos pedem é (i) o intervalo de convergência e (ii) a expressão da soma como função de x dentro desse intervalo.
Para (i) vamos usar o teste da razão e, nos pontos de fronteira, o teste da série harmônica e o critério de Leibniz. Para (ii), observamos que não existe forma elementar fechada em termos de funções elementares usuais: a soma define uma nova função analítica em |x|<1.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a
a_n=\frac{x^{n}}{n\,\ln n}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)\ln(n+1)}\cdot\frac{n\,\ln n}{x^n}\right| =\lim_{n\to\infty}|x|\;\frac{n\ln n}{(n+1)\ln(n+1)} =|x|.
Logo a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1.

Passo 3

Analisamos os extremos:
– Para x=1 fica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,\ln n},
que diverge por comparação com a integral \displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{dt}{t\ln t}.
– Para x=-1 fica
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n\,\ln n},
que converge condicionalmente pelo critério de Leibniz, pois 1/(n\ln n) é monótona decrescente a zero.

Passo 4

Concluímos que o intervalo de convergência é
-1 \;\le x< 1,
ou seja, [-1,1), com convergência absoluta em (-1,1), condicional em x=-1 e divergência em x=1.

Passo 5

Para |x|<1 a soma define uma função analítica
S(x)\;=\;\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,\ln n}.
Não existe expressão em termos de funções elementares padrões (polinômios, exponencial, logaritmo comum, etc.). Portanto, a própria série é a definição da soma como função de x.

Resposta

O intervalo de convergência é \;[-1,1).
Para |x|<1, a soma da série é a função
S(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,\ln n},
que não se reduz a nenhuma forma elementar mais simples.

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