Determine o intervalo de convergência das séries e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x
(l) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2+3+\cdots+n}{1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e a soma da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}\,x^{n}.
O conteúdo envolve (1) simplificar o termo geral usando somatórios de progressões aritmética e quadrática, (2) aplicar o teste da razão para achar o raio (e intervalo) de convergência, e (3) identificar uma série conhecida cuja soma possa ser expressa em função de x.

Passo 2

Calcular soma dos primeiros n inteiros e dos seus quadrados:
1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \qquad 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Logo o coeficiente fica
\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} =\frac{n(n+1)}{2}\cdot\frac{6}{n(n+1)(2n+1)} =\frac{3}{2n+1}.
A série passa a ser
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2n+1}\,x^{n}.

Passo 3

Usamos o teste da razão em a_{n}=\tfrac{3}{2n+1}x^{n}:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{3}{2(n+1)+1}\bigg/\frac{3}{2n+1}\,\bigl|x\bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+3}\,\bigl|x\bigr| =\lvert x\rvert.
Converge se \lvert x\rvert<1 e diverge se \lvert x\rvert>1. Em x=1 a série fica 3\sum1/(2n+1), que diverge; em x=-1 é alternada e converge condicionalmente. Portanto o intervalo de convergência é
-1\le x<1,
com convergência absoluta em \lvert x\rvert<1.

Passo 4

Para somar \sum_{n=1}^{\infty}x^{n}/(2n+1), consideramos a série auxiliar
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{2k+1}.
Defina u=\sqrt{x}. Usa-se a expansão
\mathrm{arctanh}(u)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^{2k+1}}{2k+1},
ou seja
\ln\!\bigl(\tfrac{1+u}{1-u}\bigr) =2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^{2k+1}}{2k+1}.
Dividindo por 2u e trocando u^{2k}=x^{k} obtém-se
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{2k+1} =\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln\!\Bigl(\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\Bigr).

Passo 5

Queremos \sum_{n=1}^{\infty}x^{n}/(2n+1), que é a série acima menos o termo k=0:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{2n+1} =\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln\!\Bigl(\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\Bigr)\;-\;1.
Multiplicando por 3 (do coeficiente \tfrac{3}{2n+1}) dá a soma final:

Resposta

Intervalo de convergência: -1\le x<1.
Para \lvert x\rvert<1,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}}\,x^{n} =3\Biggl[\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln\!\Bigl(\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\Bigr)-1\Biggr].

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