Determine o intervalo de convergência das séries e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x
(l) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+2+3+\cdots+n}{1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}} x^{n}
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e a soma da série de potências
O conteúdo envolve (1) simplificar o termo geral usando somatórios de progressões aritmética e quadrática, (2) aplicar o teste da razão para achar o raio (e intervalo) de convergência, e (3) identificar uma série conhecida cuja soma possa ser expressa em função de x.
Passo 2
Calcular soma dos primeiros n inteiros e dos seus quadrados:
Converge se \lvert x\rvert<1 e diverge se \lvert x\rvert>1. Em x=1 a série fica 3\sum1/(2n+1), que diverge; em x=-1 é alternada e converge condicionalmente. Portanto o intervalo de convergência é
-1\le x<1,
com convergência absoluta em \lvert x\rvert<1.
Passo 4
Para somar \sum_{n=1}^{\infty}x^{n}/(2n+1), consideramos a série auxiliar