Resolva: y^{\prime \prime}-y=e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y = e^{-x}.
O conteúdo a usar inclui: solução da equação homogênea associada e método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea
y'' - y = 0.
A equação característica é
r^2 - 1 = 0,
cuja solução dá as raízes r = 1 e r = -1. Logo a solução geral homogênea é
y_h = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{-x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p da equação completa. O termo forçante é e^{-x}, que coincide com um termo de y_h. Para evitar colisão, multiplicamos por x e tomamos o palpite
y_p = A\,x\,e^{-x}.
Derivando:
y_p' = A\,e^{-x} - A\,x\,e^{-x}, \quad y_p'' = -A\,e^{-x} - A\,e^{-x} + A\,x\,e^{-x} = -2A\,e^{-x} + A\,x\,e^{-x}.
Substituindo em y'' - y = e^{-x}:
\bigl(-2A\,e^{-x} + A\,x\,e^{-x}\bigr) - \bigl(A\,x\,e^{-x}\bigr) = -2A\,e^{-x} \stackrel{!}{=} e^{-x}.
Portanto -2A = 1, isto é A = -\tfrac12.

Passo 4

Com A = -\tfrac12 obtemos
y_p = -\tfrac12\,x\,e^{-x}.
A solução geral da equação não homogênea é a soma de y_h e y_p:

Resposta

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{-x} \;-\; \tfrac12\,x\,e^{-x}.

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