Determine o intervalo de convergência das séries de potências: sumn=1^infty (x+5)^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série de potências dada por:
sumn=1^infty (x+5)^nn^2
O que a gente precisa descobrir é para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = (x+5)^nn^2
O Teste da Razão envolve calcular o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série quando limn to infty | an+1an | tende ao infinito. Ou seja, vamos calcular:

Passo 3

Vamos substituir | an+1an | = | (x+5)^n+1/(n+1)^2(x+5)^n/n^2 | = |x+5| cdot ( nn+1 )^2 e na expressão:
Agora, precisamos calcular o limite disso quando vai para o infinito.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
limn to infty |x+5| cdot ( nn+1 )^2 = |x+5| cdot limn to infty ( nn+1 )^2 = |x+5| cdot 1 = |x+5|
Então, o limite é simplesmente .

Passo 5

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1:
|x+5| < 1
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de .

Passo 6

Resolvendo a desigualdade:
-1 < x + 5 < 1
Subtraindo 5 em todas as partes:
-6 < x < -4
Então, o intervalo potencial de convergência é de a .

Passo 7

Agora, precisamos verificar o que acontece nos extremos desse intervalo, ou seja, quando e .

Passo 8

Para sumn=1^infty (-6 + 5)^nn^2 = sumn=1^infty (-1)^nn^2 :
Essa é uma série alternada com termos decrescentes que tendem a zero, então converge pela Teste da Série Alternada.

Passo 9

Para sumn=1^infty (-4 + 5)^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2 :
Essa é a famosa série , que sabemos que converge (é uma série p com ).

Resposta

Portanto, o intervalo de convergência da série é:
[-6, -4]

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