Determine o intervalo de convergência das séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série de potências dada por:
O que a gente precisa descobrir é para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O Teste da Razão envolve calcular o limite do valor absoluto da razão entre termos consecutivos da série quando tende ao infinito. Ou seja, vamos calcular:
Passo 3
Vamos substituir | an+1an | = | (x+5)^n+1/(n+1)^2(x+5)^n/n^2 | = |x+5| cdot ( nn+1 )^2 e na expressão:
Agora, precisamos calcular o limite disso quando vai para o infinito.