Determine o intervalo de convergência das séries de potências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Aqui, estamos mexendo com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo termos com potências de . Para saber onde essa série converge (ou seja, dá um resultado finito), vamos usar o Teste da Razão. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas. A ideia é comparar o termo geral com e ver o limite dessa razão quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Agora, calculamos o limite dessa razão quando L = limn to infty | 2x^2(2n+2)(2n+1) | tende ao infinito:
(2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2
Vamos simplificar o denominador:
L = limn to infty 2x^24n^2 + 6n + 2
Então:
Passo 6
Observando o limite, vemos que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador conforme L = 0 aumenta. Portanto, o limite será:
Passo 7
Como e , de acordo com o Teste da Razão, a série converge para todo valor de . Isso significa que o intervalo de convergência é o conjunto de todos os números reais.