Determine o intervalo de convergência das séries de potências: sumn=1^infty 2^n(2 n)! x^2 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^infty 2^n(2n)! x^2n
Aqui, estamos mexendo com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo termos com potências de . Para saber onde essa série converge (ou seja, dá um resultado finito), vamos usar o Teste da Razão. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas. A ideia é comparar o termo geral L = limn to infty | an+1an | com e ver o limite dessa razão quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Matematicamente, isso é expresso como:

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = 2^n(2n)! x^2n
E o próximo termo seria:
an+1 = 2^n+1(2(n+1))! x^2(n+1) = 2^n+1(2n+2)! x^2n+2

Passo 4

Agora, vamos calcular a razão an+1an = 2^n+1(2n+2)! x^2n+2 cdot (2n)!2^n x^2n = 2 cdot 2^n(2n+2)(2n+1)(2n)!) x^2 cdot (2n)!2^n x^2n :
Simplificando:
an+1an = 2 cdot x^2(2n+2)(2n+1) = 2x^2(2n+2)(2n+1)

Passo 5

Agora, calculamos o limite dessa razão quando L = limn to infty | 2x^2(2n+2)(2n+1) | tende ao infinito:
(2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2
Vamos simplificar o denominador:
L = limn to infty 2x^24n^2 + 6n + 2
Então:

Passo 6

Observando o limite, vemos que o denominador cresce muito mais rápido que o numerador conforme L = 0 aumenta. Portanto, o limite será:

Passo 7

Como e , de acordo com o Teste da Razão, a série converge para todo valor de . Isso significa que o intervalo de convergência é o conjunto de todos os números reais.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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