Use o método de Variação de Parâmetros para encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
(f) x^2 y'' - 2 x y' + 2 y = 4 x^2

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem: . Vamos usar o método de Variação de Parâmetros para encontrar a solução geral. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar a variação de parâmetros para achar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial de Euler, que tem a forma geral .

Passo 3

Para resolver a equação de Euler, fazemos a substituição . Calculando as derivadas, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Factoring :
Portanto, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Assim, e .

Passo 5

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando o método de Variação de Parâmetros. Assumimos que:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 7

Calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo , e na equação original e igualando os termos, obtemos um sistema de equações para e .

Passo 8

Após simplificações, resolvemos o sistema e encontramos:
onde é o Wronskiano das soluções homogêneas e .
Calculando o Wronskiano:
Portanto:

Passo 9

Integrando , temos:
Como estamos buscando uma solução particular, a constante pode ser ignorada. Então, .

Passo 10

A solução particular é então:

Passo 11

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Podemos reescrever como uma nova constante, .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ou, simplificando,
onde e são constantes arbitrárias.

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