Use o método de Variação de Parâmetros para encontrar a solução geral da equação diferencial dada.
(f)
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem: . Vamos usar o método de Variação de Parâmetros para encontrar a solução geral. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois aplicar a variação de parâmetros para achar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial de Euler, que tem a forma geral .
Passo 3
Para resolver a equação de Euler, fazemos a substituição . Calculando as derivadas, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Factoring :
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Assim, e .
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea usando o método de Variação de Parâmetros. Assumimos que:
onde e são funções a serem determinadas.
Passo 7
Calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo , e na equação original e igualando os termos, obtemos um sistema de equações para e .
Passo 8
Após simplificações, resolvemos o sistema e encontramos:
onde é o Wronskiano das soluções homogêneas e .
Calculando o Wronskiano:
Portanto:
Passo 9
Integrando , temos:
Como estamos buscando uma solução particular, a constante pode ser ignorada. Então, .
Passo 10
A solução particular é então:
Passo 11
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular: