Determine o intervalo no qual a função é contínua.
F(x)=x^2+x-6x^2-2 x

Passo 1

O enunciado dá a função racional
F(x)=x^2+x-6x^2-2x
e pede em quais intervalos ela é contínua. Lembre que uma função racional é contínua em todos os pontos em que o denominador é diferente de zero.

Passo 2

Para identificar onde o denominador se anula, vamos fatorar numerador e denominador:
x^2+x-6 = (x+3)(x-2),
x^2-2x = x,(x-2)
Logo,
F(x)=(x+3)(x-2)x,(x-2)

Passo 3

Podemos simplificar o fator (x-2), obtendo a forma equivalente
F(x)=x+3x,
porém essa simplificação só vale para os x tais que o denominador original não fosse zero. Ou seja, a função original está definida apenas quando
xneq 0 e xneq 2

Passo 4

Como tfracx+3x é contínua em todos os xneq0 e precisamos excluir também x=2 (devido ao denominador original), o domínio de continuidade de F é
(-infty,0);cup;(0,2);cup;(2,+infty)

Resposta

(-infty,0);cup;(0,2);cup;(2,infty)

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