Questão 16. Resolver as integrais usando métodos adequados:
integral d xsin (x)-cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxsin x - cos x
O conteúdo principal aqui é usar identidades trigonométricas para transformar o denominador num cosseno ou seno deslocado e então aplicar a primitiva de csc u.

Passo 2

Repare que podemos escrever
sin x - cos x =raiz2,sin!l(x-tfracpi4r)
Essa é a fórmula do “deslocamento de fase”:
sin x - cos x = raiz2sinl(x-pi/4r).

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral dxsin x - cos x =integral dxraiz2,sinl(x-tfracpi4r) =1raiz2integral csc!l(x-tfracpi4r),dx

Passo 4

Sabemos que
integral csc u,du = lnl|tan!l(tfracu2r)r| + C
Aqui fazemos u = x-pi/4, logo du = dx. Assim
1raiz2integral csc u,du =1raiz2lnl|tan!l(tfracu2r)r|+C =1raiz2lnl|tan!l(tfracx-pi/42r)r|+C

Resposta

boxed 1raiz2lnl|tanl(x2-pi8r)r|+C

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