Usando derivação implícita encontre $ \frac{d y}{d x} $ e depois calcule a derivada no referido ponto
d yd x

Passo 1

Primeiro damos uma resumida no que a questão pede: precisamos encontrar dydx da curva dada por x^3 + y^3 = 4xy usando derivação implícita e depois calcular esse valor no ponto (2,2). Isso envolve derivar cada termo com respeito a x e aplicar a regra da cadeia quando derivamos y^3, já que y é função de x.

Passo 2

Derivando os dois lados da igualdade em relação a x: para x^3 obtemos 3x^2; para y^3 aplicamos a regra da cadeia e temos 3y^2dydx; e para 4xy usamos a regra do produto e fator 4, resultando em 4l(y + xdydxr). Logo:
3x^2 + 3y^2dydx = 4l(y + xdydxr)

Passo 3

Reorganizando para isolar dydx, primeiro distribuímos o 4:
3x^2 + 3y^2dydx = 4y + 4xdydx
Depois, transferimos os termos com dydx para um lado e os demais para o outro:
3y^2dydx - 4xdydx = 4y - 3x^2

Passo 4

Fatorando dydx no lado esquerdo:
l(3y^2 - 4xr)dydx = 4y - 3x^2
Aí isolamos a derivada:
dydx = 4y - 3x^23y^2 - 4x

Passo 5

Para encontrar o valor em (2,2), substituímos x=2 e y=2. O numerador vira 4cdot2 - 3cdot2^2 = 8 - 12 = -4 e o denominador 3cdot2^2 - 4cdot2 = 12 - 8 = 4. Assim:
dydx|(2,2) = -44 = -1

Resposta

-1

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