Os termos de uma série
são definidos recursivamente pelas equações:
e
. Determine se
converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado define uma série
cujos termos satisfazem
e a relação de recorrência
. Estamos no tema de séries infinitas e convém usar o teste da razão e o teste da divergência (condição necessária de convergência:
).
Passo 2
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos. Pelo enunciado,
Passo 3
Agora encontramos o limite dessa razão quando
, pois o comportamento assintótico de
depende desse valor:
Passo 4
Como o limite da razão é maior que 1, a sequência
não tende a zero (ela cresce exponencialmente em média). Pelo critério de divergência, se
não vai a zero, a série
não pode convergir.
Resposta
A série diverge, pois seus termos não tendem a zero (o teste da divergência é suficiente).