Os termos de uma série sumn=1^infty an são definidos recursivamente pelas equações: a1=2 e an+1=5 n+14 n+3 an. Determine se sumn=1^infty an converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado define uma série sumn=1^infty an cujos termos satisfazem a1=2 e a relação de recorrência an+1=5n+14n+3,an. Estamos no tema de séries infinitas e convém usar o teste da razão e o teste da divergência (condição necessária de convergência: anto 0).

Passo 2

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos. Pelo enunciado,
an+1an=5n+14n+3

Passo 3

Agora encontramos o limite dessa razão quando ntoinfty, pois o comportamento assintótico de an depende desse valor:
limntoinfty5n+14n+3=54>1

Passo 4

Como o limite da razão é maior que 1, a sequência (an) não tende a zero (ela cresce exponencialmente em média). Pelo critério de divergência, se an não vai a zero, a série sum an não pode convergir.

Resposta

A série diverge, pois seus termos não tendem a zero (o teste da divergência é suficiente).

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