Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:

Passo 1

A questão pede o intervalo máximo de convergência da série de potências sumn=1^inftyl(2^n+33^n+2r)x^n. O conteúdo principal é descobrir o raio de convergência usando o teste da raiz (ou da razão) e depois checar os extremos do intervalo.

Passo 2

Definimos an=2^n+33^n+2. Pelo teste da raiz, calculamos
L=limntoinftyraiz[n]|an|=limntoinftyl(2^n+33^n+2r)^1/n
Como para grandes n temos 2^n+3sim2^n e 3^n+2sim3^n, então
L=limntoinfty23=23
Logo o raio de convergência é
R=1L=12/3=32

Passo 3

Pelo resultado do passo anterior, a série converge absolutamente sempre que
|x|

Passo 4

Agora analisamos o extremo x=3/2. O termo geral fica
Tn=2^n+33^n+2l(32r)^n =(2^n+3),3^n2^n,(3^n+2)
Para grandes n, tanto o numerador quanto o denominador comportam-se como (2cdot3)^n, então
Tnto1neq0,
ě condição necessária para convergência não satisfeita. Logo diverge em x=3/2.

Passo 5

Para x=-3/2, o termo geral é
Tn=(-1)^n2^n+33^n+2l(32r)^n =(-1)^n,bn,
com bnto1. Assim Tn não tende a zero (oscila entre pm1), logo a série também diverge em x=-3/2.

Passo 6

Portanto, o intervalo máximo de convergência é
l(-tfrac32,,tfrac32r)

Resposta

(-3/2,,3/2)

Exercícios relacionados