Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
A questão pede o intervalo máximo de convergência da série de potências
. O conteúdo principal é descobrir o raio de convergência usando o teste da raiz (ou da razão) e depois checar os extremos do intervalo.
Passo 2
Definimos
. Pelo teste da raiz, calculamos
Como para grandes
temos
e
, então
Logo o raio de convergência é
Passo 3
Pelo resultado do passo anterior, a série converge absolutamente sempre que
Passo 4
Agora analisamos o extremo
. O termo geral fica
Para grandes
, tanto o numerador quanto o denominador comportam-se como
, então
ě condição necessária para convergência não satisfeita. Logo diverge em
.
Passo 5
Para
, o termo geral é
com
. Assim
não tende a zero (oscila entre
), logo a série também diverge em
.
Passo 6
Portanto, o intervalo máximo de convergência é