Usando derivação implícita encontre $ \frac{d y}{d x} $ e depois calcule a derivada no referido ponto
d yd x

Passo 1

O enunciado diz para usar derivação implícita na equação sin(xy)=1 e depois calcular tfracdydx no ponto (x,y)=(1/2,,pi). Vamos precisar das regras de derivação de funções compostas (regra da cadeia) e produto.

Passo 2

Derivando implicitamente ambos os lados em relação a x, aplicamos a regra da cadeia em sin(xy):
ddxl[sin(xy)r]=cos(xy)cdotddx(xy)
O lado direito, 1, tem derivada zero. Além disso, tfracddx(xy)=y + xtfracdydx pela regra do produto.

Passo 3

Substituindo na derivada obtida temos:
cos(xy)l(y + xtfracdydxr)=0
Assumindo cos(xy)neq0 (ou usando a solução explícita y=(pi/2+2pi n)/x), podemos dividir por cos(xy). Então:
y + xtfracdydx=0
Isolando tfracdydx vem
dydx=-yx

Passo 4

Agora basta avaliar em (x,y)=(1/2,,pi):
dydx|(1/2,pi)=-pi1/2=-2pi

Resposta

-2pi

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