Use o teste da raiz para verificar se a série é convergente ou divergente.
sumn=0^infty n^33^n

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da raiz (teste de Cauchy) na série sumn=0^infty n^33^n. Vamos precisar lembrar que esse teste avalia o limite da raiz n-ésima do termo geral.

Passo 2

Calculamos a raiz n-ésima do valor absoluto do termo an = n^33^n. Temos:
raiz[n]|an| = raiz[n]n^33^n = (n^3)^1/n3
Agora usamos o fato de que limntoinfty (n^3)^1/n = 1. Logo,
$$
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{3}.
$$

Passo 3

Como o valor do limite L = tfrac13 é menor que 1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 4

Concluímos que a série sumn=0^infty n^33^n é convergente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz, pois o limite é 1/3<1).

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