Use o teste da raiz para verificar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da raiz (teste de Cauchy) na série
. Vamos precisar lembrar que esse teste avalia o limite da raiz n-ésima do termo geral.
Passo 2
Calculamos a raiz n-ésima do valor absoluto do termo
. Temos:
Agora usamos o fato de que
$$
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{3}.
$$
Passo 3
Como o valor do limite
é menor que 1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente e, portanto, converge.
Passo 4
Concluímos que a série
é convergente.
Resposta
A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz, pois o limite é
).