Usando derivação implícita encontre $ \frac{d y}{d x} $ e depois calcule a derivada no referido ponto
d yd x

Passo 1

Temos a equação sin y = x. O conteúdo é derivação implícita e vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar sin y em relação a x. Precisamos encontrar dydx e depois avaliá-la no ponto l(tfrac12,tfracpi6r).

Passo 2

Aplicando a derivada em ambos os lados em relação a x, usamos a regra da cadeia no lado esquerdo e a derivada de x no lado direito:
ddx(sin y)=ddx(x)
Isso dá
cos y cdot dydx=1

Passo 3

Isolando dydx, obtemos
dydx=1cos y

Passo 4

Para avaliar no ponto l(tfrac12,tfracpi6r), calculamos costfracpi6=tfracraiz32. Logo,
dydx|l(tfrac12,tfracpi6r)=1tfracraiz32=2raiz3=2raiz33

Resposta

dydx=1cos y, e no ponto (tfrac12,tfracpi6) vale 2raiz33.

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