Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
Nesse exercício, temos a série de potências . O conteúdo é convergência de séries de potências e vamos precisar usar o teste da raiz para determinar o raio e depois testar os extremos.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz. Para o termo geral com , calculamos
Passo 3
A condição de convergência pelo teste da raiz é
35,|x|<1 Longrightarrow|x|<53
Passo 4
Logo, o raio de convergência é R=5/3 e a série converge para |x|<5/3, ou seja, no intervalo aberto (-5/3,5/3).
Passo 5
Agora testamos os extremos. Para x=5/3 o termo geral vira
Usando a expansão tfrac15n+1015n+21=1-tfrac1115n+O(1/n^2), temos tn=(1-tfrac1115n)^nto e^-11/15neq0. Como o termo não vai a zero, a série diverge em x=5/3. Para x=-5/3 a magnitude do termo é a mesma, então diverge também. Portanto, não incluímos os extremos.