Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:

Passo 1

Nesse exercício, temos a série de potências sumn=1^inftyl(tfrac3n+25n+7r)^n x^n. O conteúdo é convergência de séries de potências e vamos precisar usar o teste da raiz para determinar o raio e depois testar os extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz. Para o termo geral anx^n com an=l(tfrac3n+25n+7r)^n, calculamos
limntoinftyl|anx^nr|^1/n =limntoinfty3n+25n+7,|x| =35,|x|

Passo 3

A condição de convergência pelo teste da raiz é
35,|x|<1 Longrightarrow|x|<53

Passo 4

Logo, o raio de convergência é R=5/3 e a série converge para |x|<5/3, ou seja, no intervalo aberto (-5/3,5/3).

Passo 5

Agora testamos os extremos. Para x=5/3 o termo geral vira
tn=l(tfrac3n+25n+7r)^nl(tfrac53r)^n =l(tfrac15n+1015n+21r)^n

Passo 6

Usando a expansão tfrac15n+1015n+21=1-tfrac1115n+O(1/n^2), temos tn=(1-tfrac1115n)^nto e^-11/15neq0. Como o termo não vai a zero, a série diverge em x=5/3. Para x=-5/3 a magnitude do termo é a mesma, então diverge também. Portanto, não incluímos os extremos.

Resposta

(-5/3, 5/3)

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