Use o teste da raiz para verificar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(raiz[n]n+1)^n

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério da raiz na série sumn=1^infty(raiz[n]n+1)^n. Vamos aplicar o teste da raiz, que envolve calcular o limite de raiz[n]|an| onde an=(raiz[n]n+1)^n.

Passo 2

O critério da raiz diz que se L=limntoinftyraiz[n]|an|, então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 3

Vamos calcular raiz[n]an:
raiz[n]an=raiz[n](raiz[n]n+1)^n=raiz[n]n+1

Passo 4

Agora avaliamos o limite de raiz[n]n+1 quando ntoinfty. Sabemos que raiz[n]n=e^ln(n)/nto e^0=1, logo
limntoinfty(raiz[n]n+1)=1+1=2

Passo 5

Como o valor do limite L=2>1, o critério da raiz garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz, pois o limite L=2>1.

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