Usando derivação implícita encontre $ \frac{d y}{d x} $ e depois calcule a derivada no referido ponto
d yd x

Passo 1

O enunciado pede para usar derivação implícita na equação x^2+4 x y - y^2 = 8 x yx^2+y^2, encontrar dydx em forma geral e depois avaliar em (-1,-1). Para isso vamos precisar das regras de derivada de soma, produto, cadeia e quociente.

Passo 2

Vamos derivar cada lado da igualdade em relação a x. No lado esquerdo temos três termos: x^2, 4xy e -y^2. Usando derivada de soma e produto (lembrando que y=y(x)) obtemos:
ddx(x^2) + ddx(4xy) - ddx(y^2) = 2x + 4l(y + xdydxr) - 2ydydx

Passo 3

No lado direito aplicamos a regra do quociente em 8xyx^2+y^2. Seja N=8xy e D=x^2+y^2. Então:
N'=8l(y + xdydxr), D'=2x+2ydydx,
ddxl(NDr)=N' D - N D'D^2 =8(y+x y')(x^2+y^2) - 8xy(2x+2y y')(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora igualamos as derivadas dos dois lados e agrupamos os termos com y'equivtfracdydx:
2x + 4y + (4x - 2y)y' = 8[-x^2y + y^3 + (x^3-x y^2)y'](x^2+y^2)^2
Multiplicando ambos os lados por (x^2+y^2)^2 e isolando y' vem
y' = 8(-x^2y + y^3) - (2x+4y)(x^2+y^2)^2(4x - 2y)(x^2+y^2)^2 - 8(x^3-x y^2)

Passo 5

Basta agora avaliar em x=-1, y=-1. Note que x^2+y^2=2 e (x^2+y^2)^2=4. Substituindo cada termo, o numerador fica
8[-1^2(-1) + (-1)^3] - (-2 - 4)cdot4 = 0 -(-6)cdot4 = 24,
e o denominador
(4(-1)-2(-1))cdot4 - 8[-1 -(-1)] = (-2)cdot4 - 0 = -8
Logo y' = 24/(-8) = -3.

Resposta

(-3)

Exercícios relacionados