Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty 1(3+(-1)^n)^nx^n. O tema é séries de potências e vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência e depois checar os extremos.

Passo 2

Identificamos o coeficiente geral an=1(3+(-1)^n)^n. Pelo teste da raiz, precisamos de limsupntoinftyraiz[n]|an x^n|=limsupntoinfty(raiz[n]|an|),|x|<1.

Passo 3

Como raiz[n]|an|=1|3+(-1)^n|, nos dois casos temos subsequências: para n par dá 1/4 e para n ímpar dá 1/2. O limsup é o maior deles, isto é 1/2.

Passo 4

Então o teste da raiz exige tfrac12|x|<1, o que implica |x|<2. Logo o raio de convergência é R=2 e a série converge em -2.

Passo 5

Agora a gente checa os extremos: em x=2 os termos ímpares são 1 e não tendem a zero, então diverge. Em x=-2 os termos ímpares ficam -1 e também não vão a zero, divergindo de novo.

Resposta

O intervalo de convergência é (-2, 2).

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