Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y=y(x) no ponto especificado sabendo que cada equação determina y implicitamente como função diferenciável de x
x^2+y^2=3 y ; (-raiz2, 2)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da curva definida implicitamente por x^2 + y^2 = 3y no ponto (-raiz2, 2). Vamos usar derivada implícita para encontrar a inclinação da reta no ponto e depois aplicar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Diferenciando implicitamente ambos os lados em relação a x:
ddx(x^2 + y^2) = ddx(3y)
Aplicando as regras de derivação (derivada de x^2 é 2x, de y^2 é 2y,y' e de 3y é 3y') resulta em
$$
2x + 2y,y’ = 3y’
$$

Passo 3

Isolando y' = dydx:
2y,y' - 3y' = -2x
(2y - 3),y' = -2x
y' = -2x2y - 3

Passo 4

Agora avaliamos no ponto (-raiz2, 2):
y'(-raiz2,2) = -2(-raiz2)2cdot2 - 3 = 2raiz21 = 2raiz2

Passo 5

A inclinação da reta tangente é m = 2raiz2. Usando a fórmula da reta tangente
y - y0 = m(x - x0)
substituindo x0 = -raiz2, y0 = 2 e m = 2raiz2, obtemos
y - 2 = 2raiz2l(x + raiz2r)

Resposta

y - 2 = 2\sqrt{2}(x + \sqrt{2})

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