Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
sumn=2^infty (-1)^nn(ln n)^2 x^n

Passo 1

A questão pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=2^infty (-1)^nn(ln n)^2 x^n. O conteúdo principal é raio de convergência de séries de potências, que vamos obter usando o teste da raiz (Cauchy–Hadamard) e depois testar os extremos.

Passo 2

Para aplicar o teste da raiz, identificamos o coeficiente an = (-1)^nn(ln n)^2. Calculamos limsupntoinfty |an|^1/n = limntoinfty l(tfrac1n(ln n)^2r)^1/n Escrevendo o limite em forma exponencial:
limntoinfty l(n(ln n)^2r)^1/n = limntoinfty expgl(ln n + 2ln(ln n)ngr) = e^0 = 1
Dessa forma limsup |an|^1/n = 1, então o raio de convergência é R = 1/1 = 1. Logo a série converge para |x|<1.

Passo 3

Agora testamos os extremos: Para x=1 a série vira sumn=2^infty (-1)^nn(ln n)^2. É uma série alternante cujos termos em módulo decrescem para zero (já que 1/(n(ln n)^2) decresce). Pelo teste de Leibniz ela converge. Além disso, a série de termos positivos sum 1/(n(ln n)^2) também converge (por integral teste), logo há convergência absoluta em x=1.

Passo 4

Para x=-1 a série fica sumn=2^infty (-1)^n(-1)^nn(ln n)^2 = sumn=2^infty 1n(ln n)^2, que é uma série de termos positivos e converge também pelo integral teste.
Portanto, a série converge (absolutamente) em x=pm1 e em todo |x|<1.

Resposta

O intervalo máximo de convergência é [-1,1].

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