Determine o intervalo máximo de convergência de cada uma das séries de potências abaixo:
Passo 1
A questão pede o intervalo de convergência da série de potências
. O conteúdo principal é raio de convergência de séries de potências, que vamos obter usando o teste da raiz (Cauchy–Hadamard) e depois testar os extremos.
Passo 2
Para aplicar o teste da raiz, identificamos o coeficiente
. Calculamos
Escrevendo o limite em forma exponencial:
Dessa forma
, então o raio de convergência é
. Logo a série converge para
.
Passo 3
Agora testamos os extremos: Para
a série vira
. É uma série alternante cujos termos em módulo decrescem para zero (já que
decresce). Pelo teste de Leibniz ela converge. Além disso, a série de termos positivos
também converge (por integral teste), logo há convergência absoluta em
.
Passo 4
Para
a série fica
que é uma série de termos positivos e converge também pelo integral teste.
Portanto, a série converge (absolutamente) em e em todo
.
Portanto, a série converge (absolutamente) em
Resposta
O intervalo máximo de convergência é
.